13:35:00
¿Qué es la Resolución de Problemas?
Juan Luis Piñeiro Garrido
juanluis.pineiro@gmail.com
Universidad de Granada
Eder Pinto Marín
pinto.eder@gmail.com
Colegio Tabancura
Danilo Díaz-Levicoy
dddiaz01@hotmail.com
Universidad de Granada
RESUMEN
La resolución de problemas es un tema que ha llamado la atención de intelectuales desde los griegos, con la diferenciación que realiza Aristóteles de problema y proposición (Castro, 1991). Siglos después, filósofos, matemáticos y psicólogos se han preocupado de reflexionar y dilucidar sobre los procesos vividos por los resolutores. El objetivo de este artículo es dar una mirada al significado de problema y la resolución de problema desde las distintas perspectivas que puede ser estudiado.
Palabras clave: Resolución de problemas, Educación Matemática, invención de problemas.
ABSTRACT
Problem solving is a topic that has attracted the attention of intellectuals from Greek times to the differentiation that makes Aristotle’s problem and proposition (Castro, 1991). Centuries later philosophers, mathematicians and psychologists have been concerned to reflect and clarify the processes experienced by the solvers. The purpose of this paper is to give a look at the meaning of problem and solving problem from different perspectives that can be studied.
Key words: problem solving, mathematics education, problem posing
1. INTRODUCCIóN
La enseñanza de la matemática en Chile, así como en muchos países, está centrada en el trabajo con algoritmos y pocas aplicaciones (Aravena, 2011; Aravena y Caamaño, 2007). Algunas investigaciones dejan en invidencia que la enseñanza de la matemática se ha caracterizado por la poca interacción con otras disciplinas, así como la parcelación de los contenidos al interior de la matemática (como por ejemplo álgebra y geométrica) (Díaz y Poblete, 1998; Aravena y Caamaño, 2007; Aravena, Caamaño y Giménez,
2008; Díaz-Levicoy, Mundana y Vergara, 2009; Aravena, 2011), situación que puede ser superada mediante el trabajo adecuado con resolución de problemas (Díaz-Levicoy y Mayorga, 2014); y se han identificado dificultades en la resolución de problemas, específicamente en la comprensión de enunciados y cambio de registro (del verbal al algebraico) (Segura, 2004). Ahora bien, poder realizar cambios que necesitan de unos sustentos teóricos robustos y que se tenga claridad del significado de este tema consustancial de la matemática. En este contexto se hace primordial que todo este conocimiento no se limite a ciertos niveles académicos y llegue efectivamente a las aulas, convirtiéndose, en un conocimiento didáctico del contenido del profesor (Shulman, 1986). Nos parece primordial que los docentes tengan un conocimiento profesional sólido, que tenga como resultado beneficios para sus 
estudiantes y que permita a nuestras sociedades avanzar hacía el futuro. Lamentablemente, este conocimiento del profesor no parece estar tan claro entre los estudiosos del tema, y como punto de partida proponemos una revisión a todas las aristas que posee este concepto dentro de la Didáctica de la Matemática.
estudiantes y que permita a nuestras sociedades avanzar hacía el futuro. Lamentablemente, este conocimiento del profesor no parece estar tan claro entre los estudiosos del tema, y como punto de partida proponemos una revisión a todas las aristas que posee este concepto dentro de la Didáctica de la Matemática.
2. HACIA UNA DEFINICIóN DE PROBLEMA
La resolución de problemas es un tema central en la matemática. Informes internacionales como los propuestos en “Principios y Estándares para la Educación Matemática” del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003) y el Informe Cockcroft (1985) entregan a esta tarea una relevancia sustantiva. En el desarrollo de la historia del hombre, se ha visto como la resolución de problemas es una de las actividades intelectuales del hombre. Rico (2012) concibe la tarea de resolver problemas como una actividad científica, muy ligada a la educación. Brandsfor y Stein (1986) la describen como “un obstáculo que separa la situación actual de una meta deseada”. Meyer (1986) va más allá y la considera sinónimos de pensamiento y cognición; además hace alusión a la idea de anteriormente expuesta, dónde se está en un estado y se desea llegar a otro sin un camino claro a seguir. Puig (1996) aporta al revisar la literatura psicológica, señalando que la resolución de problemas es un factor del sujeto más que de la situación.
Como vemos son muchas las acepciones y concepciones que podemos encontrar en la literatura, sin embargo en este texto se quiere intentar describir la idea que tiene como centro a la resolución de problemas: los problemas. La Real Academia Española (RAE, 2001), en su vigésimo primera edición define, en una de sus acepciones, problema como: “2. m. Proposición o dificultad de solución dudosa”. En esta definición podemos observar que aparece la noción de solución de forma muy natural. Por tanto, nos atrevemos a plantear que problemas y resolución de problemas son conceptos muy ligados a los cuales es difícil estudiar separadamente. Así, volveremos a lo anteriormente expuesto: la resolución de problemas. Otro autor que relaciona estas nociones es Pelares (1993), quien define problema como situaciones de incertidumbre que producen el efecto de la búsqueda de una solución y a la resolución como el proceso mediante el cual se realiza. Más aún Foong (2013) plantea que sin importar la definición de problemas que se utilice, lo fundamental es la forma de proceder cuando un sujeto se enfrenta a uno.
3. PROBLEMA ESCOLAR
Las ideas anteriormente expuestas se refieren a la resolución de problemas en general; de manera más específica los problemas escolares tienen características diferentes según sea la disciplina desde que se abordan. Heyworth (1999, citado en Castro, 2008) establece que los problemas corresponden, junto a la adquisición de un cuerpo de conocimientos organizado, a uno de los dos objetivos que tiene la enseñanza de las ramas de las ciencias.
En el caso de la Educación Matemática, las acciones intencionadas que realizan los docentes para provocar aprendizaje en sus estudiantes se suelen describir como tareas matemáticas (Lupiañez, 2014), sin embargo parece ser una definición muy genérica. En Chile, el Centro Félix Klein, enmarcado en un modelo por competencias, utiliza una organización basada en la concepción del trabajo matemático; en ella describen cuatro tipos de trabajo matemático, situados en parejas, en dos niveles. En el primer nivel, denotado por el saber hacer, están las tareas matemáticas (familia de problemas que permiten acceder a un aprendizaje) y las técnicas o procedimientos. En un nivel superior, o centrado en el saber, tenemos la tecnología (entendida como elementos que permiten describir, explicar y hacer comprensibles las técnicas) y la teoría (elementos que justifican el funcionamiento de las técnicas). No obstante, para este caso usaremos la clasificación realizada por Foong (2002, 2013) que surge desde su tesis doctoral; en ella parte de la misma premisa de Lupiañez (2014) y establece que las actividades presentadas a los alumnos, tanto por profesores como en los libros de texto, corresponden a tareas matemáticas. Esta clasificación tiene como criterio el uso en objetivo de enseñanza. De ella se desprenden dos grandes grupos: tareas rutinarias y problemas.
4. TIPOLOGÍA DE PROBLEMAS ESCOLARES EN EDUCACIóN MATEMÁTICA
Como se indicó anteriormente, en este reporte utilizaremos la clasificación que plantea Foong (2002); que se esquematiza en la figura 1.
Figura 1: Clasificación de problemas según Foong (2002)
La primera diferenciación, que detallamos a continuación, es entre problemas de estructura cerrada y de estructura abierta o investigaciones o proyectos matemáticos.
4.1. Problemas de estructura cerrada.
Se caracterizan por ser bien estructurados, puesto que se componen de tareas claramente formuladas, en donde la respuesta correcta siempre puede determinarse a partir de los datos que se necesiten y que aparecen en el problema; dentro de este grupo se consideran tanto problemas rutinarios de contenido específico que se podrían solucionar en varios pasos, como problemas no rutinarios basados en las heurísticas.
• Problemas rutinarios: en estos problemas el énfasis está en aprender la matemática para aplicarla cuando se resuelven problemas, después del aprendizaje de un tema específico. Generalmente se usan para evaluar las habilidades de razonamiento analítico de mayor nivel. Son usados para enseñar métodos de resolución de problemas, haciendo énfasis en la aplicación de modelos luego de aprender un tema específico. En esta categoría podríamos encasillar lo que Puig y Cerdán (1998) nominan como problemas aritméticos escolares.
• Problemas no rutinarios: o problemas de proceso, que ponen énfasis en la utilización de estrategias heurísticas para trabajar problemas no conocidos. El énfasis, como ya se enunció, recae en la utilización de estas estrategias. Generalmente no son específicos a un dominio o tema especifico. Estos problemas contienen muchos casos a considerar, por lo que son muy útiles al momento de demostrar los procesos que se deben realizar al razonar y desarrollar la estrategia heurística utilizada. Una consideración importante que hace el autor es la necesidad de conocer el tópico matemático en cuestión en el problema para poder resolverlo con éxito
4.2. Problemas de estructura abierta.
Los problemas abiertos son generalmente “mal estructurados”, debido a que no tienen una formulación estándar ni son claros, esto pues faltan datos o supuestos y no hay procedimientos establecidos que garanticen llegar a una respuesta correcta. Este tipo de problemas pueden ser problemas reales aplicados, investigaciones matemáticas (perfeccionarse como resolutor) o preguntas cortas abiertas (pensamiento divergente o comprensión específica de un tema).
• Problemas reales aplicados: son problemas que comienzan con una situación real y se busca la matemática presente en él.
• Investigaciones matemáticas: actividades abiertas para explorar y disfrutar las matemáticas, brindando oportunidades para desarrollar el pensamiento creativo y divergente. Este tipo de problemas permite a los estudiantes que perfeccionen sus propios sistemas, a fin de generar resultados a partir de la exploración, tabulación de datos para encontrar patrones, proponer conjeturas y comprobarlas, y justificar y generalizar los hallazgos.
• Problemas de final abierto corto: usados para lograr una comprensión acabada sobre un tema. Son problemas con muchas respuestas posibles y que se pueden resolver de distintas maneras.
5. INVENCIóN DE PROBLEMAS
Al igual que problemas y resolución parecen ser consustanciales, la resolución de problemas y la invención de estos son elementos que difícilmente pueden ser separados. Castro (2008) nos hace ver que la invención de problemas es una actividad que se encuentra “recogida en algunas de las fases o etapas que se han dado para la resolución de problemas”(p.
123). Esta actividad está definida como la creación de problemas nuevos, partiendo de situaciones determinadas (Castro, 2008; Castro, 2011; Espinoza, Lupiañez y Segovia, 2014). Estas situaciones pueden estar determinadas por el momento en el que se realiza la acción de inventar el problema: antes, durante o después (Castro, 2008; Castro, 2011); o como plantea Cázares (2000, citado en Castro,
2011) desde “dentro del proceso de resolución de problemas” (p. 3) o desde el contacto del estudiante con su medio. Finalmente, otra categorización la realiza Silver (1994, citado en Castro, 2011) está relacionada, también, con el ámbito de actuación; este autor plantea que se pueden crear problemas a partir de situaciones cualquiera o de la parcelación de problemas difíciles, en varios más fáciles.
La realización de estas tareas de invención de problemas pueden darse de forma libre, es decir, sin ninguna condición; también podrían ser semiestructurada o basadas en alguna experiencia o situación, o bien estructuradas, planteando un problema reformulado o cambiando sus condiciones (Espinoza, Lupiañez y Segovia, 2014).
6. HEURÍSTICOS PARA LA RESOLUCIóN DE PROBLEMAS
Cuando se habla de heurísticos en Educación Matemática, generalmente, se relaciona a la enseñanza de la resolución de problemas. Esto debido a que los heurísticos podrían definirse como estrategias usadas para avanzar a la solución de un problema (Foong, 2013). Polya (1979) es uno de los pioneros en establecer esta idea, que Castro (1991) denomina dirección; esta noción se enmarca en los aportes de la Teoría de Gestalt e intentó determinar unas fases que seguiría el sujeto para encontrar la solución a un problema. Dichas fases se usaron y usan para enseñar a resolver problemas.
Polya (1979) planteó una serie de fases desde el punto de vista del comportamiento del resolutor ideal, las fases propuestas por este autor son: comprensión del problema, diseño del plan, ejecución y verificación de la solución obtenida.
En la tabla 1 se pueden ver algunas de las recomendaciones que entrega para ayudar en el proceso de resolución.
Primero
Tiene que comprender el problema
|
COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones?
¿Es posible cumplir con las condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para hallar
la incógnita?
¿O son
insuficientes?
¿O son
contradictorias?
Dibuje una figura.
Adopte
una
notación adecuada. Separe las diferentes partes de las condiciones. ¿Puede ponerlas por escrito?
|
Segundo
Descubra las
relaciones entre datos e incógnita.
Puede verse obligado a tener en cuenta problemas auxiliares, si no encuentra una relación inmediata. Deberá llegar a obtener un plan de resolución.
|
CONCEPCIÓN DE UN PLAN
¿Se ha encontrado antes con el problema? ¿O lo ha visto antes de forma algo diferente?
¿Conoce algún problema
relacionado? ¿Conoce
algún teorema que
le pueda ser útil?
Mire
la incógnita.
E
intente recordar algún
problema
familiar
que
tenga
incógnita igual o parecida.
He aquí un problema relacionado con el suyo, y que se ha resuelto antes.
¿Podría utilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría utilizar su método?
¿Debería introducir algún elemento auxiliar para poderlo utilizar?
¿Podría replantear el problema? ¿Podría volverlo a replantear de otra forma diferente todavía? Vuelva al planteamiento original.
Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que
se
relacione
con el
mismo. ¿Podría
imaginarse algún problema más sencillo, relacionado con el mismo? ¿Algún problema más general?
¿Algún
problema más particular?
¿Algún problema análogo?
¿Podría resolver una parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone
la otra
parte;
¿hasta qué
punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo práctico a partir de los datos? ¿Podría pensar en otros datos adecuados para que la incógnita? ¿Podría cambiar la incógnita o
los datos, o las dos cosas si hace falta, para
que la incógnita esté más
próxima
a los datos nuevos?
¿Ha utilizado todos
los datos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tenido en cuenta todos los conceptos esenciales que interviene en el problema?
|
Tercero
Lleve a cabo su plan
|
LLEVAR A CABO EL PLAN
Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?
|
Cuarto
Examine la solución obtenida
|
REVISIÓN
¿Puede comprobar
el resultado?
¿Puede comprobar el
razonamiento?
¿Puede extraer el resultado de otra manera? ¿Puede percibirlo a primera vista? ¿Puede utilizar el resultado, o el método, para algún otro problema?
|
Tabla 1: Etapas de resolución de problemas de Polya (Resnick y Ford, 1992)
Otra perspectiva para mirar las fases, mucho más instruccional, sería las de Mason, Burton y Stacey (1992) que describen el proceso de resolución de problemas haciendo hincapié en los afectos. Esta descripción hace referencia a procesos, fases y estados:
• Procesos:
o Particularizar/generalizar
o Conjeturar
o Demostrar
• Fases:
o Abordaje
o Ataque
o Revisión
• Estados:
o ¡Ajá!
o Atascado
En la primera fase de abordaje se sugiere realizar una exploración o familiarización detallada, de forma de tener más de un punto de vista para verla, pues de la cantidad de ideas que aparezcan ahí, puede surgir una respuesta o si la elegida falla, tendremos otro camino a seguir. En una segunda fase de ataque es importante la toma de decisiones acerca de la forma de desarrollar la estrategia elegida en la fase anterior; esta fase aparecerán los estados de ¡Ajá! cuándo se encuentre algún camino posible o de atasco cuándo el camino se escabulla de nuestra vista. Finalmente, la revisión permitirá una autocorrección y posibles generalizaciones, así como la generación de nuevos problemas cambiando datos u interrogantes. Los procesos, por su parte, serán las formas de abordar el problema. Destacable es el hecho que claramente se debiese comenzar por el abordaje y terminar por la revisión, sin embargo un proceso de resolución obliga a volver a atrás, realizando nuevos abordajes (Mason, Burton y Stacey, 1992)
Otra descripción de fases bastante exitosa fue la realizada por Brandsford y Stein (1986). El llamado método I.D.E.A.L. Sigue el modelo desarrollado por Polya, pero subdivide algunos pasos en otros. Cada una de las letras de su nombre (es una sigla) corresponde a una fase de resolución.
I: Identificación del problema
D: Definición y representación del problema
E: Escoger una estrategía de solución y elaborar un plan
A: Actuar según el plan
L: Logros. Evaluar lo realizado.
Miguel de Guzmán (2006) partiendo de las ideas de los autores antes señalados, elaboró un modelo para la solución de problemas, donde incluye tanto las decisiones ejecutivas de control como las heurísticas. La meta de este autor es que estudiante examine y remodele sus propias formas de pensar de manera sistemática a fin de eliminar los obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras un pensamiento de buena calidad (Herrera, 2008). El modelo para la ocupación con problemas consta de las siguientes fases:
1. Familiarización con el problema:
• Trata de entender a fondo la situación.
• Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo.
• Juega con la situación, piérdele el miedo.
2. Búsqueda de una (s) estrategia (s):
• Empieza por lo fácil.
• Experimenta.
• Haz un esquema, una figura un diagrama.
• Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
• Busca un problema semejante.
• Induce.
• Supongamos el problema resuelto.
• Supongamos que no está resuelto.
3. Lleva adelante tu estrategia
• Selecciona las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior.
• Actúa con flexibilidad. No te cierres en una idea, si las cosas se complican busca otra vía.
• ¿Salió? ¿seguro? Mira a fondo tu solución.
4. Revisa el proceso y saca consecuencia de él.
• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿por qué no has llegado?
• Trata de entender no solo que la estrategia funciona sino por qué funciona.
• Examina si encuentras un camino más simple.
• Mira hasta donde has usado un método
• Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca algunas conclusiones y experiencias, para el futuro.
Como se puede ver, las propuestas de fases de resolución, estrategias o heurísticos para resolver 
problemas son bastante similares y difieren en la especificidad de las fases. Foong (2013) plantea que además de estás heurísticas “generales”, existen otras específicas que serían de ayuda para problemas concretos. Entre ellas encontramos:
problemas son bastante similares y difieren en la especificidad de las fases. Foong (2013) plantea que además de estás heurísticas “generales”, existen otras específicas que serían de ayuda para problemas concretos. Entre ellas encontramos:
• Actuar el problema
• Utilizar un diagrama
• Dibujar esquemas de barras
• Hacer una lista sistemática
• Buscar patrones y utilizarlos
• Ensayo y error
• Trabajar hacía atrás
• Usar la noción antes-después
• Dividir el problemas en partes
• Resolver un problema más sencillo
• Conjeturar
7. INVESTIGACIóN y RESOLUCIóN DE PROBLEMAS
Finalmente, la resolución de problemas es una línea de investigación consolidada más en la Educación Matemática. Castro (2008) hace notar que desde los pioneros como Polya, y años después Schoenfeld, existe un desinterés por parte de la comunidad científica en está área de investigación, no obstante los en los últimos años parece que esto ha comenzado a dejar de ser así. Prueba de ello son las publicaciones de ZDM “Problem solving around the world – Summing up the state of the art” del 2008 y de TME, “International Perspectives on Problem Solving Research in Mathematics Education” del 2011.
No existe aún acuerdo entre los investigadores para una sistematización de las investigaciones realizadas. Sin embargo, nos parece que la tipología que realiza Castro (2008) es simple y permite un clarificación de lo realizado hasta la fecha. Este autor manifiesta que es posible agrupar las investigaciones sobre resolución de problemas unas referidas a su enseñanza y otro, referido a como pensamos mientras resolvemos problemas.
Esta última pareciera ser un foco prioritario debido a los, hasta el momento, infructuosos avances en torno a la enseñanza. Un ejemplo de una investigación sobre como pensamos cuando resolvemos problemas es la realizada por Espinoza, Lupiañez y Segovia (2014); en ella se realiza un estudio exploratorio descriptivo que caracteriza o describe a estudiantes con talento
en matemáticas en tareas de invención de problemas. Para esta cuestión, se enmarca teóricamente desde tres nociones:
• El talento matemático
• Los problemas aritméticos verbales
• La invención de problemas.
El marco metodológico, como ya se dijo, es de tipo exploratorio y descriptivo, la descripción se hace a través de datos cuantitativos. En esta investigación se evalúa la invención de dos problemas; en ella se clasificaron las respuestas y se les aplicaron categorías de análisis referidas a la estructura sintáctica, matemática y semántica. Los resultados arrojaron que los estudiantes talentosos inventan problemas de:
mayor riqueza que los inventados por el grupo estándar, ya que están conformados por una mayor cantidad de proposiciones y tipos de números, requieren de más pasos y procesos de cálculo distintos para ser resueltos y presenta una mayor cantidad de relaciones semánticas distintas (Espinoza, Lupiañez y Segovia, 2014, p. 52).
También se pudo observar “algunos indicios del uso de la invención en la identificación de estudiantes con talento matemático” (p. 53).
8. CONCLUSIóN
La resolución de problemas es una actividad reconocida como de suma importancia dentro de los sistemas educativos (Castro y Ruíz, 2015). La concepción que se tenga de ella es preponderante para la forma en que se pueda desarrollar en los distintos ámbitos en los se ha abierto un espacio. Durante la lectura de este artículo hemos desarrollado las diferentes áreas en las que toma un significado esta actividad. La resolución de problemas es una actividad inherente al ser humano; es una actividad transversal de la matemática; forma parte de la actividad científica; es una actividad de socialización y significación que permite entender la matemática con su propia lógica (Charnay, 1994). Así, podemos decir que esta actividad se puede entender desde diferentes perspectivas o focos que en solo en su conjunto permiten dilucidar las complejas redes que forman el significado de resolución de problemas.
Cada una de las aristas de este concepto que hemos revisado nos permiten entender de mejor manera cual ha de ser el lugar que debe tener dentro de nuestra actividad profesional, ya sea investigativa o educativa. En síntesis, podemos observar como la resolución de problemas es investigación, es ciencia, es educación; tomando en cada una de estas nociones, matices diferentes que a profesionales de la educación o científicos corresponde conocer; solo de esta forma podrá tomar el lugar que merece y que debe tener en las diferentes áreas en las que tiene un ámbito de actuación en el que aportar.
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